數(shù)學運算通常考查學生對數(shù)學基本思維和計算的掌握程度，其中“排列組合”一直都是數(shù)量關系中相對較難的一個章節(jié)，要想學好排列組合，不僅要掌握排列、組合、分類、分步等基本概念，更要熟悉具體的技巧方法。今天，我們就來一起看一下其中一種比較常用的解題方法，插空法。

　　什么樣的題型可以使用插空法呢?我們來看一個例子：

　　【示例】把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側，每側種植9棵，要求每側的柏樹數(shù)量相等且不相鄰，且道路起點和終點處兩側種植的都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法?

　　A. 36

　　B. 50

　　C. 100

　　D. 400

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類。

　　第二步，利用每側柏樹“相等”可得，每側3棵柏樹，松樹有9-3=6(棵)。根據(jù)“不相鄰”用插空法，去掉起點和終點，6棵松樹之間有5個空，故柏樹種植情況有=10(種)。

　　第三步，根據(jù)“兩側”植樹，可得總的種植方法為10×10=100(種)。

　　因此，選擇C選項。

　　由于本題明確要求柏樹“不相鄰”，可優(yōu)先排好松樹，然后將柏樹插入松樹形成的空隙中，即可滿足題意。此題需要注意，道路的起點與終點兩側種植的都必須是松樹，故柏樹在插空時，每側只能選擇6棵松樹間的5個空，不可插到松樹的外側。

　　除了上述題目，我們在今后做題過程中，遇到什么樣特征的題目可以使用插空法解題呢?通常情況下，分為以下三類：

　?、俪霈F(xiàn)要求不相鄰、不相連、不連續(xù)等標志詞;

　　【例】某興趣組有男女生各5名，他們都準備了表演節(jié)目?，F(xiàn)在需要選出4名學生各自表演1個節(jié)目，這4人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生連續(xù)表演節(jié)目。那么，不同的節(jié)目安排有多少種?

　　A. 1200

　　B. 2400

　　C. 3000

　　D. 3600

　　【答案】B

　　【解析】

　　第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類。

　　第二步，根據(jù)不能由男生連續(xù)表演節(jié)目可采用插空法，先從男生和女生中選取所需要的人數(shù)，然后安排女生表演節(jié)目，最后將男生的節(jié)目插入到女生的節(jié)目之間，需要考慮順序。有以下兩種情況：

　　第三步，總安排方式為1200+1200=2400(種)。

　　因此，選擇B選項。

　　此題與示例類似，但在解題過程中需考慮分類與分步，當選擇了1個男生時，無論如何安排都不會“連續(xù)”;當選擇了3個男生時，無論如何安排都一定“連續(xù)”;當2男2女時，需先安排好女生再將2個男生插到女生排列后形成的空中去，即可滿足題意，此時先安排2名女生，可形成3個空。

　?、诔霈F(xiàn)要求至少有2個相鄰的標志詞;

　　【例】某籃球隊12個人的球衣號碼是從4到15的自然數(shù)，若從中選出3個人參加三對三籃球比賽，則選出的人中至少有兩人的球衣號碼是相鄰自然數(shù)的概率為多少?

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本題考查概率問題，屬于基本概率，用插空法解題。

　　第二步，要求選出的人中至少有兩人相鄰的概率，則可用1減去選出的3個人均不相鄰的概率。12個人選出3人后剩9個人，可以想象為把選出的3個人插到9個人所形成的10個空中，則這三人必定均不相鄰，故三個人均不相鄰的概率。

　　第三步，因此至少兩個人相鄰的概率。

　　因此，選擇C選項。

　　此題與示例類似，用插空法解題，但區(qū)別在于此題若正面求解則相對情況較多，故可反向思考用總的情況減去“不符合題意”(即3個人的號碼均“不相鄰”)的情況，此時便轉化為了插空法的題目特征，可順利進行求解。

　?、鄢霈F(xiàn)相鄰的2個中至少有1個有特殊要求的標志詞。

　　【例】某條道路一側共有20盞路燈。為了節(jié)約用電，計劃只打開其中的10盞。但為了不影響行路安全，要求相鄰的兩盞路燈中至少有一盞是打開的，則共有( )種開燈方案。

　　A. 2 B. 6

　　C. 11 D. 13

　　【答案】C

　　【解析】

　　第一步，本題考查排列組合問題，屬于方法技巧類，用插空法解題。

　　第二步，一側共20盞燈，打開其中10盞，則熄滅10盞，相鄰兩盞燈中至少有一盞是打開的，則熄滅的燈不能相鄰，將10盞熄滅的燈插到10盞打開的燈形成的11個空中，共有=11(種)開燈方案。

　　因此，選擇C選項。

　　這道題目相對較為復雜，雖然也使用到插空法，但解題的難點在于將已知條件轉化為我們較為熟悉的語言，相鄰的兩盞路燈中至少有一盞是打開的，即關閉的路燈“不相鄰”，只有理解了此題的關鍵信息才可利用插空法順利解題。

　　考生可以發(fā)現(xiàn)，很多插空法的題目只要能夠識別題型，或者能夠讀懂出題人的意圖，那么很多分數(shù)都是可以拿到的。但是要想熟練掌握并在考場上靈活運用這種方法還需要大量的題目練習，考生可以在華圖在線題庫中多多練習以熟練運用。

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