容斥原理是歷年公務(wù)員考試中比較喜歡出的一種題型，考查頻率高，題目難度適中，是廣大考生在數(shù)量關(guān)系模塊拿分的一種題型。容斥原理主要會涉及到兩種題型，分別是兩集合容斥原理和三集合容斥原理，下面我們分別來講一下：
兩集合容斥原理：
如果題目涉及的是這樣五個量：滿足條件A的數(shù)目;滿足條件B的數(shù)目;同時滿足條件A和B的數(shù)目;條件A、B都不滿足的數(shù)目;總數(shù)。那么選用“兩集合標(biāo)準(zhǔn)型”的標(biāo)準(zhǔn)公式：滿足條件的個數(shù)=滿足條件A的+滿足條件B的-AB都滿足的=總數(shù)=都不滿足來作答。
三集合容斥原理：
如果題目涉及分別滿足A、B、C的數(shù)目;同時滿足AB的數(shù)目;同時滿足BC的數(shù)目;同時滿足AC的數(shù)目，同時滿足ABC的數(shù)目;都不滿足的數(shù)目;總數(shù)，那么我們可以使用三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式：滿足條件的個數(shù)=滿足一個條件的-同時滿足兩個條件的+三個條件都滿足的=總數(shù)-都不滿足來作答
如果題目涉及滿足A、B、C的數(shù)目;只滿足AB的數(shù)目;只滿足BC的數(shù)目;只滿足AC的數(shù)目，同時滿足ABC的數(shù)目;都不滿足的數(shù)目;總數(shù)，那么我們可以使用三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式：滿足條件的個數(shù)=滿足一個條件的-只滿足兩個條件的-2×三個條件都滿足的=總數(shù)-都不滿足來作答
【例1】(2020河南)學(xué)校有300個學(xué)生選擇參加地理興趣小組, 生物興趣小組或者兩個小組同時參加。如果80%學(xué)生參加地理興趣小組, 50%學(xué)生參加生物興趣小組。問同時參加地理和生物興趣小組的學(xué)生人數(shù)是多少?
A. 240
B. 150
C. 90
D. 60
【答案】C
【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于二集合容斥類，用公式法解題。
第二步，共兩個興趣小組，其中80%的學(xué)生參加地理興趣小組、50%的學(xué)生參加生物興趣小組，根據(jù)兩集合容斥原理公式：滿足條件1的個數(shù)+滿足條件2的個數(shù)-兩者都滿足的個數(shù)=總個數(shù)-兩者都不滿足的個數(shù)，設(shè)同時參加兩個興趣小組的學(xué)生占比為x，則有80%+50%-x=100%-0，解得x=30%，那么同時參加兩個興趣小組的共有300×30%=90(人)。
因此，選擇C選項。
【例2】(2018陜西)有關(guān)部門對120種抽樣食品進(jìn)行化驗分析, 結(jié)果顯示, 抗氧化劑達(dá)標(biāo)的有68 種, 防腐劑達(dá)標(biāo)的有77 種, 漂白劑達(dá)標(biāo)的有59 種, 抗氧化劑和防腐劑都達(dá)標(biāo)的有54 種, 防腐劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有43 種, 抗氧化劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有35 種, 三種食品添加劑都達(dá)標(biāo)的有30 種, 那么三種食品添加劑都不達(dá)標(biāo)的有多少種?
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
【答案】C
【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類，用公式法解題。
第二步，按照三集合容斥標(biāo)準(zhǔn)型公式，直接設(shè)三種食品添加劑都不達(dá)標(biāo)的為x種，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18(可用尾數(shù)法計算)。
因此，選擇C選項。
【例3】(2019新疆)某機(jī)關(guān)開展紅色教育月活動, 三個時間段分別安排了三場講座。該機(jī)關(guān)共有139 人, 有42 人報名參加第一場講座, 51 人報名參加第二場講座, 88 人報名參加第三場講座, 三場講座都報名的有12 人, 只報名參加兩場講座的有30 人。問沒有報名參加其中任何一場講座的有多少人?
A. 12
B. 14
C. 24
D. 28
【答案】A
【解析】第一步，本題考查容斥原理，用公式法解題。
第二步，設(shè)沒有報名參加其中任何一場講座的有x人。根據(jù)三集合非標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式，可列方程42+51+88-30-2×12=139-x，解得x=12。(或者使用尾數(shù)法解題)
因此，選擇A選項。
容斥原理公式主要有兩集合公式，三集合標(biāo)準(zhǔn)公式，三集合非標(biāo)準(zhǔn)公式三個。難度比較小，是拿分題，相信同學(xué)們肯定能夠輕松應(yīng)對
祝大家攻堅克難、金榜題名!
