一、容斥原理
容斥原理關鍵就兩個公式：
1. 兩個集合的容斥關系公式：A+B=A∪B+A∩B
2. 三個集合的容斥關系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
請看例題：
【例題1】某大學某班學生總數(shù)是32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是( )
A.22 B.18 C.28 D.26
【解析】設A=第一次考試中及格的人數(shù)(26人),B=第二次考試中及格的人數(shù)(24人),顯然,A+B=26+24=50； A∪B=32-4=28，則根據(jù)A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案為A。
【例題2】電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人？
【解析】設A=看過2頻道的人(62)，B=看過8頻道的人(34)，顯然，A+B=62+34=96；
A∩B=兩個頻道都看過的人(11)，則根據(jù)公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，兩個頻道都沒看過的人數(shù)為100-85=15人。
二、作對或做錯題問題
【例題】某次考試由30到判斷題，每作對一道題得4分，做錯一題倒扣2分，小周共得96分，問他做錯了多少道題？
A.12 B.4 C.2 D.5
【解析】
方法一
假設某人在做題時前面24道題都做對了,這時他應該得到96分,后面還有6道題,如果讓這最后6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎么才能為0分呢?根據(jù)規(guī)則,只要作對2道題,做錯4道題即可,據(jù)此我們可知做錯的題為4道,作對的題為26道.
方法二
作對一道可得4分,如果每作對反而扣2分,這一正一負差距就變成了6分.30道題全做對可得120分,而現(xiàn)在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯的題,所以可知選擇B
三、植樹問題
核心要點提示：①總路線長②間距(棵距)長③棵數(shù)。只要知道三個要素中的任意兩個要素，就可以求出第三個。
【例題1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數(shù)走到底15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走，當他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數(shù)時就開始往回走？
A.第32棵 B.第32棵 C.第32棵 D.第32棵
解析：李大爺從第一棵數(shù)走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個棵距用了7分鐘，所以走沒個棵距用0.5分鐘。當他回到第5棵樹時，共用了30分鐘，計共走了30÷0.5=60個棵距，所以答案為B。第一棵到第33棵共32個棵距，第33可回到第5棵共28個棵距，32+28=60個棵距。
【例題2】為了把2008年北京奧運會辦成綠色奧運，全國各地都在加強環(huán)保，植樹造林。某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：( ）
A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵
解析：設兩條路共有樹苗ⅹ棵，根據(jù)栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據(jù)路程相等列出方程：(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因為2條路共栽4排，所以要減4)
解得ⅹ=13000，即選擇D。
四、和差倍問題
核心要點提示：和、差、倍問題是已知大小兩個數(shù)的和或差與它們的倍數(shù)關系，求大小兩個數(shù)的值。(和+差)÷2=較大數(shù)；(和—差)÷2=較小數(shù)；較大數(shù)—差=較小數(shù)。
【例題】甲班和乙班共有圖書160本，甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？
解析：設乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班和乙班圖書本書的合相當于乙班圖書本數(shù)的4倍。乙班160÷（3+1)=40(本)，甲班40×3=120(本)。
五．濃度問題
【例1】(2008年北京市應屆第14題)——
甲杯中有濃度為17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的溶液600克?，F(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同。問現(xiàn)在兩倍溶液的濃度是多少( )
A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4%
【答案】B。
【解析】這道題要解決兩個問題：
(1)濃度問題的計算方法
濃度問題在國考、京考當中出現(xiàn)次數(shù)很少，但是在浙江省的考試中，每年都會遇到濃度問題。這類問題的計算需要掌握的最基本公式是
(2)本題的陷阱條件
“現(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩倍溶液的濃度相同?！边@句話描述了一個非常復雜的過程，令很多人望而卻步。然而，只要抓住了整個過程最為核心的結果——“甲、乙兩杯溶液的濃度相同”這個條件，問題就變得很簡單了。
因為兩杯溶液最終濃度相同，因此整個過程可以等效為——將甲、乙兩杯溶液混合均勻之后，再分開成為400克的一杯和600克的一杯。因此這道題就簡單的變成了“甲、乙兩杯溶液混合之后的濃度是多少”這個問題了。
根據(jù)濃度計算公式可得，所求濃度為：
如果本題采用題設條件所述的過程來進行計算，將相當繁瑣。
六．行程問題
【例1】(2006年北京市社招第21題)——
2某單位圍墻外面的公路圍成了邊長為300米的正方形，甲乙兩人分別從兩個對角沿逆時針同時出發(fā)，如果甲每分鐘走90米，乙每分鐘走70米，那么經(jīng)過( )甲才能看到乙
A.16分40秒 B.16分 C.15分 D.14分40秒
【答案】A。
【解析】這道題是一道較難的行程問題，其難點在于“甲看到乙”這個條件。有一種錯誤的理解就是“甲看到乙”則是甲與乙在同一邊上的時候甲就能看到乙，也就是甲、乙之間的距離小于300米時候甲就能看到乙了，其實不然。考慮一種特殊情況，就是甲、乙都來到了這個正方形的某個角旁邊，但是不在同一條邊上，這個時候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時候甲還是不能看到乙。由此看出這道題的難度——甲看到乙的時候兩人之間的距離是無法確定的。
有兩種方法來“避開”這個難點——
解法一：借助一張圖來求解
雖然甲、乙兩人沿正方形路線行走，但是行進過程完全可以等效的視為兩人沿著直線行走，甲、乙的初始狀態(tài)如圖所示。
圖中的每一個“格檔”長為300米，如此可以將題目化為這樣的問題“經(jīng)過多長時間，甲、乙能走入同一格檔？”
觀察題目選項，發(fā)現(xiàn)有15分鐘、16分鐘兩個整數(shù)時間，比較方便計算。因此代入15分鐘值試探一下經(jīng)過15分鐘甲、乙的位置關系。經(jīng)過15分鐘之后，甲、乙分別前進了
90×15＝1350米＝(4×300＋150)米
70×15＝1050米＝(3×300＋150)米
也就是說，甲向前行進了4個半格檔，乙向前行進了3個半格檔，此時兩人所在的地點如圖所示。
甲、乙兩人恰好分別在兩個相鄰的格檔的中點處。這時甲、乙兩人相距300米，但是很明顯甲還看不到乙，正如解析開始處所說，如果單純的認為甲、乙距離差為300米時，甲就能看到乙的話就會出錯。
考慮由于甲行走的比乙快，因此當甲再行走150米，來到拐彎處的時候，乙行走的路程還不到150米。此時甲只要拐過彎就能看到乙。因此再過150/90＝1分40秒之后，甲恰好拐過彎看到乙。所以甲從出發(fā)到看到乙，總共需要16分40秒，甲就能看到乙。
這種解法不是常規(guī)解法，數(shù)學基礎較為薄弱的考生可能很難想到。
解法二：考慮實際情況
由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此實際情況下，甲能夠看到乙恰好是當甲經(jīng)過了正方形的一個頂點之后就能看到乙了。也就是說甲從一個頂點出發(fā)，在到某個頂點時，甲就能看到乙了。
題目要求的是甲運動的時間，根據(jù)上面的分析可知，經(jīng)過這段時間之后，甲正好走了整數(shù)個正方形的邊長，轉化成數(shù)學運算式就是
90×t＝300×n
其中，t是甲運動的時間，n是一個整數(shù)。帶入題目四個選項，經(jīng)過檢驗可知，只有A選項16分40秒過后，甲運動的距離為
90×（16×60＋40)/60＝1500＝300×5
符合“甲正好走了整數(shù)個正方形的邊長”這個要求，它是正確答案。
七．抽屜問題
三個例子：
（1）3個蘋果放到2個抽屜里，那么一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。
（2）5塊手帕分給4個小朋友，那么一定有1個小朋友至少拿了2塊手帕。
（3）6只鴿子飛進5個鴿籠，那么一定有1個鴿籠至少飛進2只鴿子。
我們用列表法來證明例題（1）：
放 法
抽 屜 ①種 ②種 ③種 ④種
第1個抽屜 3個 2個 1個 0個
第2個抽屜 0個 1個 2個 3個
從上表可以看出，將3個蘋果放在2個抽屜里，共有4種不同的放法。
第①、②兩種放法使得在第1個抽屜里，至少有2個蘋果；第③、④兩種放法使得在第2個抽屜里，至少有2個蘋果。
即：可以肯定地說，3個蘋果放到2個抽屜里，一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。
由上可以得出：
題 號 物 體 數(shù) 量 抽屜數(shù) 結 果
（1） 蘋 果 3個 放入2個抽屜 有一個抽屜至少有2個蘋果
（2） 手 帕 5塊 分給4個人 有一人至少拿了2塊手帕
（3） 鴿 子 6只 飛進5個籠子 有一個籠子至少飛進2只鴿
上面三個例子的共同特點是：物體個數(shù)比抽屜個數(shù)多一個，那么有一個抽屜至少有2個這樣的物體。從而得出：
抽屜原理1：把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。
再看下面的兩個例子：
（4）把30個蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于5？
（5）把30個以上的蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于5？
解答:（4）存在這樣的放法。即：每個抽屜中都放5個蘋果；（5）不存在這樣的放法。即：無論怎么放，都會找到一個抽屜，它里面至少有6個蘋果。
從上述兩例中我們還可以得到如下規(guī)律：
抽屜原理2：把多于m×n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m＋1個或多于m＋l個的物體。
可以看出，“原理1”和“原理2”的區(qū)別是：“原理1”物體多，抽屜少，數(shù)量比較接近；“原理2”雖然也是物體多，抽屜少，但是數(shù)量相差較大，物體個數(shù)比抽屜個數(shù)的幾倍還多幾。
以上兩個原理，就是我們解決抽屜問題的重要依據(jù)。抽屜問題可以簡單歸結為一句話：有多少個蘋果，多少個抽屜，蘋果和抽屜之間的關系。解此類問題的重點就是要找準“抽屜”，只有“抽屜”找準了，“蘋果”才好放。
我們先從簡單的問題入手：
（1）3只鴿子飛進了2個鳥巢，則總有1個鳥巢中至少有幾只鴿子？（答案：2只）
（2）把3本書放進2個書架，則總有1個書架上至少放著幾本書？（答案：2本）
（3）把3封信投進2個郵筒，則總有1個郵筒投進了不止幾封信？（答案：1封）
（4）1000只鴿子飛進50個巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個含鴿子最多的巢，它里面至少含有幾只鴿子？（答案：1000÷50＝20，所以答案為20只）
（5）從8個抽屜中拿出17個蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個拿蘋果最多的抽屜，從它里面至少拿出了幾個蘋果？（答案：17÷8＝2……1，2＋1＝3，所以答案為3）
（6）從幾個抽屜中（填最大數(shù)）拿出25個蘋果，才能保證一定能找到一個抽屜，從它當中至少拿了7個蘋果？（答案：25÷□＝6……□，可見除數(shù)為4，余數(shù)為1，抽屜數(shù)為4，所以答案為4個）
抽屜問題又稱為鳥巢問題、書架問題或郵筒問題。如上面（1）、（2）、（3）題，講的就是這些原理。上面（4）、（5）、（6）題的規(guī)律是：物體數(shù)比抽屜數(shù)的幾倍還多幾的情況，可用“蘋果數(shù)”除以“抽屜數(shù)”，若余數(shù)不為零，則“答案”為商加1；若余數(shù)為零，則“答案”為商。其中第（6）題是已知“蘋果數(shù)”和“答案”來求“抽屜數(shù)”。
抽屜問題的用處很廣，如果能靈活運用，可以解決一些看上去相當復雜、覺得無從下手，實際上卻是相當有趣的數(shù)學問題。
例1：某班共有13個同學，那么至少有幾人是同月出生？（ ）
A. 13 B. 12 C. 6 D. 2
解1：找準題中兩個量，一個是人數(shù)，一個是月份，把人數(shù)當作“蘋果”，把月份當作“抽屜”，那么問題就變成：13個蘋果放12個抽屜里，那么至少有一個抽屜里放兩個蘋果。【已知蘋果和抽屜，用“抽屜原理1”】
例2：某班參加一次數(shù)學競賽，試卷滿分是30分。為保證有2人的得分一樣，該班至少得有幾人參賽？（ ）
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
解2：毫無疑問，參賽總人數(shù)可作“蘋果”，這里需要找“抽屜”，使找到的“抽屜”滿足：總人數(shù)放進去之后，保證有1個“抽屜”里，有2人。仔細分析題目，“抽屜”當然是得分，滿分是30分，則一個人可能的得分有31種情況（從0分到30分），所以“蘋果”數(shù)應該是31＋1＝32?！疽阎O果和抽屜，用“抽屜原理2”】
例3. 在某校數(shù)學樂園中，五年級學生共有400人，年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，我們不用去查看學生的出生日期，就可斷定在這400個學生中至少有兩個是同年同月同日出生的，你知道為什么嗎？
解3：因為年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，所以這400名學生出生的日期總數(shù)不會超過366天，把400名學生看作400個蘋果，366天看作是366個抽屜，（若兩名學生是同一天出生的，則讓他們進入同一個抽屜，否則進入不同的抽屜）由“抽屜原則2”知“無論怎么放這400個蘋果，一定能找到一個抽屜，它里面至少有2（400÷366＝1……1，1＋1＝2）個蘋果”。即：一定能找到2個學生，他們是同年同月同日出生的。
例4：有紅色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果讓你閉上眼睛去摸，（1）你至少要摸出幾根才敢保證至少有兩根筷子是同色的？為什么？（2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子，為什么？
解4：把3種顏色的筷子當作3個抽屜。則：
（1）根據(jù)“抽屜原理1”，至少拿4根筷子，才能保證有2根同色筷子；（2）從最特殊的情況想起，假定3種顏色的筷子各拿了3根，也就是在3個“抽屜”里各拿了3根筷子，不管在哪個“抽屜”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少應拿出3×3＋1＝10（根）筷子，就能保證有4根筷子同色。
例5. 證明在任意的37人中，至少有4人的屬相相同。
解5：將37人看作37個蘋果，12個屬相看作是12個抽屜，由“抽屜原理2”知，“無論怎么放一定能找到一個抽屜，它里面至少有4個蘋果”。即在任意的37人中，至少有4（37÷12＝3……1，3＋1＝4）人屬相相同。
例6：某班有個小書架，40個同學可以任意借閱，試問小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有1個同學能借到2本或2本以上的書？
分析：從問題“有1個同學能借到2本或2本以上的書”我們想到，此話對應于“有一個抽屜里面有2個或2個以上的蘋果”。所以我們應將40個同學看作40個抽屜，將書本看作蘋果，如某個同學借到了書，就相當于將這個蘋果放到了他的抽屜中。
解6：將40個同學看作40個抽屜，書看作是蘋果，由“抽屜原理1”知：要保證有一個抽屜中至少有2個蘋果，蘋果數(shù)應至少為40＋1＝41（個）。即：小書架上至少要有41本書。
下面我們來看兩道國考真題：
例7：（國家公務員考試2004年B類第48題的珠子問題）：
有紅、黃、藍、白珠子各10粒，裝在一個袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色
相同，應至少摸出幾粒？（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解7：把珠子當成“蘋果”，一共有10個，則珠子的顏色可以當作“抽屜”，為保證
摸出的珠子有2顆顏色一樣，我們假設每次摸出的分別都放在不同的“抽屜”里，摸了4
個顏色不同的珠子之后，所有“抽屜”里都各有一個，這時候再任意摸1個，則一定有
一個“抽屜”有2顆，也就是有2顆珠子顏色一樣。答案選C。
例8：（國家公務員考試2007年第49題的撲克牌問題）：
從一副完整的撲克牌中，至少抽出（ ）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同？
A．21 B．22 C．23 D．24
解8：完整的撲克牌有54張，看成54個“蘋果”，抽屜就是6個（黑桃、紅桃、梅花、方塊、大王、小王），為保證有6張花色一樣，我們假設現(xiàn)在前4個“抽屜”里各放了5張，后兩個“抽屜”里各放了1張，這時候再任意抽取1張牌，那么前4個“抽屜”里必然有1個“抽屜”里有6張花色一樣。答案選C。
歸納小結：解抽屜問題，最關鍵的是要找到誰為“蘋果”，誰為“抽屜”，再結合兩個原理進行相應分析?？梢钥闯鰜?，并不是每一個類似問題的“抽屜”都很明顯，有時候“抽屜”需要我們構造，這個“抽屜”可以是日期、撲克牌、考試分數(shù)、年齡、書架等等變化的量，但是整體的出題模式不會超出這個范圍。
八．“牛吃草”問題
牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。
解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進而解答題總所求的問題。
這類問題的基本數(shù)量關系是：
1．（牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)－牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)－吃的較少的天數(shù)）=草地每天新長草的量。
2．牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)－每天新長量×吃草天數(shù)=草地原有的草。
下面來看幾道典型試題：
例1．
由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天一均勻的速度減少。經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或供16頭牛吃6天。那么可供11頭牛吃幾天？（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】C。
解析：設每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天減少（20×5－16×6）÷（6－5）=4份草，原來牧場上有20×5+5×4=120份草，故可供11頭牛吃120÷（11+4）=8天。
例2．
有一片牧場，24頭牛6天可以將草吃完；21頭牛8天可以吃完，要使牧草永遠吃不完，至多可以放牧幾頭牛？（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】C。
解析：設每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天生長出（21×8－24×6）÷（8－6）=12份，如果放牧12頭牛正好可吃完每天長出的草，故至多可以放牧12頭牛。
例3．
有一個水池，池底有一個打開的出水口。用5臺抽水機20小時可將水抽完，用8臺抽水機15小時可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長時間將水漏完？（ ）
A.25 B.30 C.40 D.45
【答案】D。
解析：出水口每小時漏水為（8×15－5×20）÷（20－15）=4份水，原來有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小時漏完。
練習：
1．一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每頭牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃這一片草，幾天可以吃完？（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
2．兩個孩子逆著自動扶梯的方向行走。20秒內(nèi)男孩走27級，女孩走了24級，按此速度男孩2分鐘到達另一端，而女孩需要3分鐘才能到達。則該扶梯靜止時共有多少級可以看見？（ ）
A.54 B.48 C.42 D.36
3．22頭牛吃33公畝牧場的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場28公畝的草，84天可以吃盡。請問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天吃盡？（ ）
A.50 B.46 C.38 D.35
九．利潤問題
利潤就是掙的錢。利潤占成本的百分數(shù)就是利潤率。商店有時減價出售商品，我們把它稱為“打折”，幾折就是百分之幾十。如果某種商品打“八折”出售，就是按原價的80%出售；如果某商品打“八五”折出售，就是按原價的85%出售。利潤問題中，還有一種利息和利率的問題，屬于百分數(shù)應用題。本金是存入銀行的錢。利率是銀行公布的，是把本金看做單位“1”，按百分之幾或千分之幾付給儲戶的。利息是存款到期后，除本金外，按利率付給儲戶的錢。本息和是本金與利息的和。
這一問題常用的公式有：
定價=成本+利潤
利潤=成本×利潤率
定價=成本×（1+利潤率)
利潤率=利潤÷成本
利潤的百分數(shù)=(售價-成本)÷成本×100%
售價=定價×折扣的百分數(shù)
利息=本金×利率×期數(shù)
本息和=本金×（1+利率×期數(shù))
例1 某商品按20%的利潤定價，又按八折出售，結果虧損4元錢。這件商品的成本是多少元？
A.80 B.100 C.120 D.150
【答案】B。解析：現(xiàn)在的價格為(1+20%)×80%=96%，故成本為4÷（1-96%)=100元。
例2 某商品按定價出售，每個可以獲得45元的利潤，現(xiàn)在按定價的八五折出售8個，按定價每個減價35元出售12個，所能獲得的利潤一樣。這種商品每個定價多少元？( )
A.100 B.120 C.180 D.200
【答案】D。解析：每個減價35元出售可獲得利潤(45-35)×12=120元，則如按八五折出售的話，每件商品可獲得利潤120÷8=15元，少獲得45-15=30元，故每個定價為30÷（1-85%)=200元。
例3 一種商品，甲店進貨價比乙店便宜12%，兩店同樣按20%的利潤定價，這樣1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定價是多少元？( )
A.1000 B.1024 C.1056 D.1200
【答案】C。解析：設乙店進貨價為x元，可列方程20%x-20%×（1-12%)x=24，解得x=1000，故甲店定價為1000×（1-12%)×（1+20%)=1056元。
練習：
1.書店賣書，凡購同一種書100本以上，就按書價的90%收款，某學校到書店購買甲、乙兩種書，其中乙書的冊數(shù)是甲書冊數(shù)的 ，只有甲種書得到了優(yōu)惠，這時，買甲種書所付總錢數(shù)是買乙種書所付錢數(shù)的2倍，已知乙種書每本定價是1.5元，優(yōu)惠前甲種書每本定價多少元？
A.4 B.3 C.2 D.1
2.某書店對顧客實行一項優(yōu)惠措施：每次買書200元至499.99元者優(yōu)惠5%，每次買書500元以上者(含500元)優(yōu)惠10%。某顧客到書店買了三次書，如果第一次與第二次合并一起買，比分開買便宜13.5元；如果三次合并一起買比三次分開買便宜39.4元。已知第一次付款是第三次付款的 ，這位顧客第二次買了多少錢的書？
A.115 B.120 C.125 D.130
3.商店新進一批洗衣機，按30%的利潤定價，售出60%以后，打八折出售，這批洗衣機實際利潤的百分數(shù)是多少？
A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20
十．平均數(shù)問題
這里的平均數(shù)是指算術平均數(shù)，就是n個數(shù)的和被個數(shù)n除所得的商，這里的n大于或等于2。通常把與兩個或兩個以上數(shù)的算術平均數(shù)有關的應用題，叫做平均數(shù)問題。 平均數(shù)應用題的基本數(shù)量關系是：
總數(shù)量和÷總份數(shù)=平均數(shù)
平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量和
總數(shù)量和÷平均數(shù)=總份數(shù)
解答平均數(shù)應用題的關鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對應的總份數(shù)。
例1： 在前面3場擊球游戲中，某人的得分分別為130、143、144。為使4場游戲得分的平均數(shù)為145，第四場他應得多少分？( )
【答案】C。解析：4場游戲得分平均數(shù)為145，則總分為145×4=580，故第四場應的580-130-143-144=163分。
例2： 李明家在山上，爺爺家在山下，李明從家出發(fā)一每分鐘90米的速度走了10分鐘到了爺爺家?；貋頃r走了15分鐘到家，則李 是多少？( )
A.72米/分 B.80米/分 C.84米/分 D90米/分
【答案】A。解析：李明往返的總路程是90×10×2=1800(米)，總時間為10+15=25 均速度為1800÷25=72米/分。
例3： 某校有有100個學生參加數(shù)學競賽，平均得63分，其中男生平均60分，女生平均70分，則男生比女生多多少人？( )
A.30 B.32 C.40 D.45
【答案】C。解析：總得分為63×100=6300，假設女生也是平均60分，那么100個學生共的6000分，這樣就比實得的總分少300分。這是女生平均每人比男生高10分，所以這少的300分是由于每個女生少算了10分造成的，可見女生有300÷10=30人，男生有100-30=70人，故男生比女生多70-30=40人。
練習：
1. 5個數(shù)的平均數(shù)是102。如果把這5個數(shù)從小到大排列，那么前3個數(shù)的平均數(shù)是70，后3個數(shù)的和是390。中間的那個數(shù)是多少？( ) A.80 B.88 C.90 D.96
2. 甲、乙、丙3人平均體重47千克，甲與乙的平均體重比丙的體重少6千克，甲比丙少3
千克，則乙的體重為( )千克。 A.46 B.47 C.43 D.42
3. 一個旅游團租車出游，平均每人應付車費40元。后來又增加了8人，這樣每人應付的車
費是35元，則租車費是多少元？( ) A.320 B.2240 C.2500 D.320
十一.方陣問題
學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。
核心公式：
1．方陣總人數(shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）
2．方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總人數(shù)÷4）＋1
3．方陣外一層總人數(shù)比內(nèi)一層總人數(shù)多2
4．去掉一行、一列的總人數(shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1
例1 學校學生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學生多少人?
A．256人 B．250人 C．225人 D．196人 （2002年A類真題）
解析：正確答案為A。方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。
根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總人數(shù)就可以求了。
方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人） 整個方陣共有學生人數(shù)：16×16=256（人）。
例2 參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？
分析 如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：
去掉一行、一列的總人數(shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1
解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。
原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行（或一列）人數(shù)＝（33+1）÷2＝17
方陣的總人數(shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總人數(shù)為17×17=289（人）
練習：
1. 小紅把平時節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是( )：
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 （2005年中央真題）
2. 某儀仗隊排成方陣，第一次排列若干人，結果多余100人；第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。儀仗隊總人數(shù)為多少？ 答案：1.C 2. 500人
十二.年齡問題
主要特點是：時間發(fā)生變化，年齡在增長，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是“和差”、“差倍”等問題的綜合應用。解題時，我們一定要抓住年齡差不變這個解題關鍵。
解答年齡問題的一般方法：
幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差－小年齡
幾年前的年齡=小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差
例1：
甲對乙說：當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時，你才4歲。乙對甲說：當我的歲數(shù)到你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將有67歲，甲乙現(xiàn)在各有：
A．45歲，26歲 B．46歲，25歲 C．47歲，24歲 D．48歲，23歲
【答案】B。
解析：甲、乙二人的年齡差為（67－4）÷3=21歲，故今年甲為67－21=46歲，乙的年齡為45－21=25歲。
例2：
爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當爸爸的年齡是哥哥的3倍時，妹妹是9歲；當哥哥的年齡是妹妹的2倍時，爸爸34歲?，F(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？
A．34 B．39 C．40 D．42
【答案】C。
解析：解法一：用代入法逐項代入驗證。解法二，利用“年齡差”是不變的，列方程求解。設爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3[y-(z-9)]；y-(x-34)=2[z-(x-34)]?？汕蟮脁=40。
例3：
1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?
A．34歲，12歲 B．32歲，8歲 C．36歲，12歲 D．34歲，10歲
【答案】C。
解析：抓住年齡問題的關鍵即年齡差，1998年甲的年齡是乙的年齡的4倍，則甲乙的年齡差為3倍乙的年齡，2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍，此時甲乙的年齡差為2倍乙的年齡，根據(jù)年齡差不變可得
3×1998年乙的年齡=2×2002年乙的年齡
3×1998年乙的年齡=2×（1998年乙的年齡+4）
1998年乙的年齡=4歲
則2000年乙的年齡為10歲。
練習：
1. 爸爸在過50歲生日時，弟弟說：“等我長到哥哥現(xiàn)在的年齡時，我和哥哥的年齡之和等于那時爸爸的年齡”，那么哥哥今年多少歲？
A.18 B.20 C.25 D.28
2. 甲、乙兩人的年齡和正好是80歲，甲對乙說：“我像你現(xiàn)在這么大時，你的年齡正好是我的年齡的一半?！奔捉衲甓嗌贇q？（ ）
A.32 B.40 C.48 D.45
3. 父親與兒子的年齡和是66歲，父親的年齡比兒子年齡的3倍少10歲，那么多少年前父親的年齡是兒子的5倍？（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
十三. 比例問題
解決好比例問題，關鍵要從兩點入手：第一，“和誰比”；第二，“增加或下降多少”。
例1 b比a增加了20%，則b是a的多少？ a又是b的多少呢？
解析：可根據(jù)方程的思想列式得 a×（1＋20%）＝b，所以b是a的1.2倍。
A/b＝1/1.2＝5/6，所以a 是b的5/6。
例2 養(yǎng)魚塘里養(yǎng)了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標記后放回魚塘，數(shù)日后再捕上100尾，發(fā)現(xiàn)有標記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚?
A．200 B．4000 C．5000 D．6000 （2004年中央B類真題）
解析：方程法：可設魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5＝X/200，解得X=4000，選擇B。
例3 2001年，某公司所銷售的計算機臺數(shù)比上一年度上升了20%，而每臺的價格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計算機銷售額為3000萬元，那么2000年的計算機銷售額大約是多少?
A．2900萬元 B．3000萬元 C．3100萬元 D．3300萬元（2003年中央A類真題）
解析：方程法：可設2000年時，銷售的計算機臺數(shù)為X，每臺的價格為Y，顯然由題意可知，2001年的計算機的銷售額=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000萬=0.96XY，顯然XY≈3100。答案為C。
特殊方法：對一商品價格而言，如果上漲X后又下降X，求此時的商品價格原價的多少？或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少？只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運用簡化公式，1－X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計算機臺數(shù)比上一年度上升了20％，每臺的價格比上一年度下降了20％，因為銷售額＝銷售臺數(shù)×每臺銷售價格，所以根據(jù)乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%） ＝0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100。
例4 生產(chǎn)出來的一批襯衫中大號和小號各占一半。其中25%是白色的，75%是藍色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號白色襯衫有10件，問小號藍色襯衫有多少件?
A．15 B．25 C．35 D．40 （2003年中央A類真題）
解析：這是一道涉及容斥關系（本書后面會有專題講解）的比例問題。
根據(jù)已知 大號白=10件，因為大號共50件，所以，大號藍=40件；
大號藍=40件，因為藍色共75件，所以，小號藍=35件；
此題可以用另一思路進行解析（多進行這樣的思維訓練，有助于提升解題能力）
大號白=10件，因為白色共25件，所以，小號白=15件；
小號白=15件，因為小號共50件，所以，小號藍=35件；
所以，答案為C。
例5 某企業(yè)發(fā)獎金是根據(jù)利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時可提成10%；低于或等于20萬元時，高于10萬元的部分按7.5%提成；高于20萬元時，高于20萬元的部分按5%提成。當利潤為40萬元時，應發(fā)放獎金多少萬元?
A．2 B．2.75 C．3 D．4.5 （2003年中央A類真題）
解析：這是一個種需要讀懂內(nèi)容的題型。根據(jù)要求進行列式即可。
獎金應為 10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75
所以，答案為B。
例6 某企業(yè)去年的銷售收入為1000萬元，成本分生產(chǎn)成本500萬元和廣告費200萬元兩個部分。若年利潤必須按P％納稅，年廣告費超出年銷售收入2％的部分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業(yè)去年共納稅120萬元，則稅率P％為
A．40％ B．25％ C．12％ D．10％ （2004年江蘇真題）
解析：選用方程法。根據(jù)題意列式如下：
?。?000-500-200）×P％+（200-1000×2%）×P％=120
即 480×P％=120
P％=25%
所以，答案為B。
例 7 甲乙兩名工人8小時共加736個零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，問乙每小時加工多少個零件?
A．30個 B．35個 C．40個 D．45個 （2002年A類真題）
解析：選用方程法。設乙每小時加工X個零件，則甲每小時加工1.3X個零件，并可列方程如下：
（1+1.3X）×8=736
X=40
所以，選擇C。
例 8 已知甲的12%為13，乙的13%為14，丙的14%為15，丁的15%為16，則甲、乙、丙、丁4個數(shù)中最大的數(shù)是：
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （2001年中央真題）
解析：顯然甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；丁=16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%＞1，
所以，甲＞乙＞丙＞丁，選擇A。
例 10 某儲戶于1999年1月1 日存人銀行60000元，年利率為2.00%，存款到期日即2000年1月1 日將存款全部取出，國家規(guī)定凡1999年11月1日后孳生的利息收入應繳納利息稅，稅率為20％，則該儲戶實際提取本金合計為
A．61 200元 B．61 160元 C．61 000元 D．60 040元
解析，如不考慮利息稅，則1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息為60000×2%=1200，也即100元/月，但實際上從1999年11月1日后要收20%利息稅，也即只有2個月的利息收入要交稅，稅額=200×20%=40元
所以，提取總額為60000+1200-40=61160，正確答案為B。
十四. 尾數(shù)計算問題
1． 尾數(shù)計算法
知識要點提示：尾數(shù)這是數(shù)學運算題解答的一個重要方法，即當四個答案全不相同時，我們可以采用尾數(shù)計算法，最后選擇出正確答案。
首先應該掌握如下知識要點：
2452＋613＝3065 和的尾數(shù)5是由一個加數(shù)的尾數(shù)2加上另一個加數(shù)的尾數(shù)3得到的。
2452－613＝1839 差的尾數(shù)9是由被減數(shù)的尾數(shù)2減去減數(shù)的尾數(shù)3得到。
2452×613＝1503076 積的尾數(shù)6是由一個乘數(shù)的尾2乘以另一個乘數(shù)的尾數(shù)3得到。
2452÷613＝4 商的尾數(shù)4乘以除數(shù)的尾數(shù)3得到被除數(shù)的尾數(shù)2，除法的尾數(shù)有點特殊，請學員在考試運用中要注意。
例1 99+1919+9999的個位數(shù)字是（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．7 （2004年中央A、B類真題）
解析：答案的尾數(shù)各不相同，所以可以采用尾數(shù)法。9＋9＋9＝27，所以答案為D。
例2 請計算（1.1）2 +（1.2）2 +（1.3）2 +（1.4）2 值是：
A．5.04 B．5.49 C．6.06 D．6.30型 （2002年中央A類真題）
解析：（1.1）2 的尾數(shù)為1，（1.2）2 的尾數(shù)為4，（1.3）2 的尾數(shù)為9，（1.4）2 的尾數(shù)為6，所以最后和的尾數(shù)為1＋3＋9＋6的和的尾數(shù)即0，所以選擇D答案。
例3 3×999+8×99+4×9+8+7的值是：
A．3840 B．3855 C．3866 D．3877 （2002年中央B類真題）
解析：運用尾數(shù)法。尾數(shù)和為7+2＋6＋8＋7=30，所以正確答案為A。
2． 自然數(shù)N次方的尾數(shù)變化情況
知識要點提示：
我們首先觀察2n 的變化情況
21的尾數(shù)是2
22的尾數(shù)是4
23的尾數(shù)是8
24的尾數(shù)是6
25的尾數(shù)又是2
我們發(fā)現(xiàn)2的尾數(shù)變化是以4為周期變化的即21 、25、29……24n+1的尾數(shù)都是相同的。
3n是以“4”為周期進行變化的，分別為3，9，7，1， 3，9，7，1 ……
7n是以“4”為周期進行變化的，分別為9，3，1，7， 9，3，1，7 ……
8n是以“4”為周期進行變化的，分別為8，4，2，6， 8，4，2，6 ……
4n是以“2”為周期進行變化的，分別為4，6， 4，6，……
9n是以“2”為周期進行變化的，分別為9，1， 9，1，……
5n、6n尾數(shù)不變。
例1 的末位數(shù)字是：
A．1 B．3 C．7 D．9 （2005年中央甲類真題）
解析：9n是以“2”為周期進行變化的，分別為9，1， 9，1，……即當奇數(shù)方時尾數(shù)為“9”，當偶數(shù)方時尾數(shù)為“1”，1998為偶數(shù)，所以原式的尾數(shù)為“1”，所以答案為A。
例2 19881989+1989 的個位數(shù)是 （2000年中央真題）
A．9 B．7 C．5 D．3
解析：由以上知識點我們可知19881989 的尾數(shù)是由 81989 的尾數(shù)確定的，1989÷4＝497余1，所以81989 的尾數(shù)和81 的尾數(shù)是相同的，即19881989 的尾數(shù)為8。
我們再來看19891988 的尾數(shù)是由91988 的尾數(shù)確定的，1988÷4＝497余0，這里注意當余數(shù)為0時，尾數(shù)應和94、98 、912 …… 94n 尾數(shù)一致，所以91988 的尾數(shù)與94 的尾數(shù)是相同的，即為1。
綜上我們可以得到19881989 + 19891988 尾數(shù)是8+1＝9，所以應選擇C。
十五. 最小公倍數(shù)和最小公約數(shù)問題
1．關鍵提示：
最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的題一般不難，但一定要細致審題，千萬不要粗心。另外這類題往往和日期（星期幾）問題聯(lián)系在一起，要學會求余。
2．核心定義：
?。?）最大公約數(shù)：如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)。
?。?）最小公倍數(shù)：如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù).公倍數(shù)中最小的一個大于零的公倍數(shù)，叫這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例題1：甲每5天進城一次，乙每9天進城一次，丙每12天進城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要：
A．60天 B．180天 C．540天 D．1620天 （2003年浙江真題）
解析：下次相遇要多少天，也即求5，9，12的最小公倍數(shù)，可用代入法，也可直接求。顯然5，9，12的最小公倍數(shù)為5×3×3×4＝180。
所以，答案為B。
例題2：三位采購員定期去某商店，小王每隔9天去一次，大劉每隔11天去一次，老楊每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相會，下次相會是星期幾？
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
解析：此題乍看上去是求9，11，7的最小公倍數(shù)的問題，但這里有一個關鍵詞，即“每隔”，“每隔9天”也即“每10天”，所以此題實際上是求10，12，8的最小公倍數(shù)。10，12，8的最小公倍數(shù)為5×2×2×3×2＝120。120÷7＝17余1，
所以，下一次相會則是在星期三，選擇C。
例題3：賽馬場的跑馬道600米長，現(xiàn)有甲、乙、丙三匹馬，甲1分鐘跑2圈，乙1分鐘跑3圈，丙1分鐘跑4圈。如果這三匹馬并排在起跑線上，同時往一個方向跑，請問經(jīng)過幾分鐘，這三匹馬自出發(fā)后第一次并排在起跑線上？( )
A．1／2 B．1 C．6 D．12
解析：此題是一道有迷惑性的題，“1分鐘跑2圈”和“2分鐘跑1圈”是不同概念，不要等同于去求最小公倍數(shù)的題。顯然1分鐘之后，無論甲、乙、丙跑幾圈都回到了起跑線上。
所以，答案為B。
