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2011年4.24公務(wù)員聯(lián)考行測備考:剩余定理的運用
2011-04-14 16:42  華圖網(wǎng)校 點擊: 載入中...

  一、中國剩余定理的由來

  我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中,記載這樣一個問題: “今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何。”用現(xiàn)在的話來說就是:“有一批物品,3個3個地數(shù)余2個,5個5個地數(shù)余3個,7個7個地數(shù)余2個,問這批物品最少有多少個?” 這個問題的解題思路,被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點兵”等等。

  二、“中國剩余定理”算理及其應(yīng)用

  明朝數(shù)學(xué)家程大位把這一解法編成四句歌訣:

  三人同行七十(70)稀,

  五樹梅花廿一(21)枝,

  七子團圓正月半(15),

  除百零五(105)便得知。

  歌訣中每一句話都是一步解法:第一句指除以3的余數(shù)用70去乘;第二句指除以5的余數(shù)用21去乘;第三句指除以7的余數(shù)用15去乘;第四句指上面乘得的三個積相加的和如超過105,就減去105的倍數(shù),就得到答案了。即:

  70×2+21×3+15×2-105×2=23

  為什么這樣解呢?因為70是5和7的公倍數(shù),且除以3余1。21是3和7的公倍數(shù),且除以5余1。15是3和5的公倍數(shù),且除以7余1。(任何一個一次同余式組,只要根據(jù)這個規(guī)律求出那幾個關(guān)鍵數(shù)字,那么這個一次同余式組就不難解出了。)把70、21、15這三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù),再把三個積加起來是233,符合題意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍數(shù),去掉105的倍數(shù),剩下的差就是最小的一個答案。

  三、“中國剩余定理”的應(yīng)用

  主要是是針對那些我們學(xué)的口訣“公倍數(shù)做周期:余同取余,和同加和,差同減差”以外的余數(shù)問題的題目。

  【例1】一個數(shù)被3除余1,被4除余2,被5除余4,這個數(shù)最小是幾?

  A.81 B.34

  C.128 D.103

  【答案】B

  【解析】本題屬于余數(shù)問題。題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

  則〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。

  為了使20被3除余1,用20×2=40;

  使15被4除余1,用15×3=45;

  使12被5除余1,用12×3=36。

  然后,40×1+45×2+36×4=274,

  因為,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的數(shù)。所以選擇B選項。

  【例2】一個數(shù)被3除余2,被7除余4,被8除余5,這個數(shù)最小是幾?

  A.53 B.34

  C.128 D.73

  【答案】A

  【解析】本題屬于余數(shù)問題。題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

  則〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。

  為了使56被3除余1,用56×2=112;

  使24被7除余1,用24×5=120。

  使21被8除余1,用21×5=105;

  然后,112×2+120×4+105×5=1229,

  因為,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的數(shù)。所以選擇A選項。

  【例3】一個數(shù)除以5余4,除以8余3,除以11余2,求滿足條件的最小的自然數(shù)。

  A.24B.46

  C.299 D.73

  【答案】C

  【解析】本題屬于余數(shù)問題。題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

  則〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。

  為了使88被5除余1,用88×2=176;

  使55被8除余1,用55×7=385;

  使40被11除余1,用40×8=320。

  然后,176×4+385×3+320×2=2499,

  因為,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的數(shù)。所以選擇C選項。

  【例4】有一個年級的同學(xué),每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,問這個年級至少有多少人 ?

  A.95B.116

  C.99 D.302

  【答案】D

  【解析】本題屬于余數(shù)問題。題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

  則〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。

  為了使35被9除余1,用35×8=280;

  使45被7除余1,用45×5=225;

  使63被5除余1,用63×2=126。

  然后,280×5+225×1+126×2=1877,

  因為,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的數(shù)。所以選擇D選項。

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