二、同余問題

　　同余問題在公務員考試中比較常見，主要是從除數與余數的關系入手，來求得最終答案。 如：

　　【例3】一個數除以4余1，除以5余1，除以6余1，請問這個數如何表示？

　　【解析】設這個數為A，則A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A－1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍數為60，所以A－1就可以表示為60n，因此，A=60n+1。

　　結論：如果一個被除數的除數不同，余數相同，那么這個數的通項公式可以表示為幾個除數的公倍數加上除數共同的余數。

　　【例4】一個數除以4余3，除以5余2，除以6余1，請問這個數如何表示？

　　【解析】設這個數為A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，那么會有A=4n1+3，A=5n2+2，A=6n3+1。其中，A=4n1+3=4(n1－1)+4+3=4(n1－1)+7，同理，A=5(n2－1)+7，A= 6(n3－1)+7，根據【例3】的結論，A= 60n+7。

　　結論：如果一個被除數的除數不同，除數與余數的和相等，那么這個數的通項公式可以表示為幾個除數的公倍數加上除數與余數的和。

　　【例5】一個數除以4余1，除以5余2，除以6余3，請問這個數如何表示？

　　【解析】設這個數為A，如果A除以4余1，除以5余2，除以6余3，那么會有A=4n1+1，A=5n2+2，A=6n3+3。其中，A=4n1+1=4(n1+1)－4+3=4(n1+1)－1，同理，A=5(n2+1)－1，A= 6(n3+1)－1，根據【例3】的結論，A= 60n－1。

　　結論：如果一個被除數的除數不同，除數與余數的差相等，那么這個數的通項公式可以表示為幾個除數的公倍數減去除數與余數的差。

　　根據以上三道例題的結論，我們還可以舉一反三地解決其他相關問題。如：

　　【例6】自然數P滿足下列條件：P除以10的余數為9，P除以9的余數為8，P除以8的余數為7。如果：100<P<1000，則這樣的P有幾個?

　　A.不存在    B.1個     C.2個        D.3個

　　【解析】幾個除數與對應余數的差相同，均為1，根據【例5】的結論，P=360n－1，由于100<P<1000，所以n取1、2時滿足題意，所以，P有2個，選C。

　　【例7】一個三位數除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數共有多少個？

　　A. 5個    B. 6個    C. 7個    D. 8個

　　【解析】除以5余2，除以4余3，我們知道除數與對應余數的和相同，根據【例4】的結論，這個數可以表示為，P=20n1+7，除以9余7，說明P=9n2+7，再根據【例3】的結論，我們得到這個數可以表示為180n+7，由于這個數為三位數，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5個。

　　綜上所述，考生只需要掌握余數的基本關系式和恒等式、熟悉同余問題的解決方法，清楚對公倍數（或最小公倍數）的求法，再遇到常見的余數問題，就能輕松又快速地解決掉。